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低碳环境下供应链纵向减排合作的动态协调策略(4)
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摘要：（29） 将（29）式和（30）式分别代入（8）式和（13）式，即可得制造商和供应商的利润最优值函数，； 此时将（26）式和（27）式代入状态方程式（2）中
（29）
将（29）式和（30）式分别代入（8）式和（13）式，即可得制造商和供应商的利润最优值函数，；
此时将（26）式和（27）式代入状态方程式（2）中，可解得产品减排量的轨迹为：
（31）
其中。至此命题1得证。
3.2 制造商和供应商减排合作的博弈情形
在制造商和供应商进行减排合作博弈情形下，双方以供应链系统利润最优为首要原则共同地来确定和的值。此时供应链系统的目标函数为：
（32）
命题2：制造商和供应商减排合作博弈情形下，制造商和供应商关于减排努力程度的静态反馈均衡策略分别为：，产品减排量的最优轨迹为：
；且合作情形下供应链系统的利润最优值函数为：；
其中：；；。
证明：同3.1，记时刻之后供应链系统的总利润现值最优值函数为：
（33）
令时刻之后供应链系统的总利润当值最优值函数为：
则时刻之后供应链系统的总利润现值最优值函数为：
（35）
那么对于所有的都必须满足如下哈密尔顿－雅克比－贝尔曼(Hamilton－Jacobi－Bellman)方程
由一阶条件可解得减排合作情形下制造商和供应商的最优减排策略：
（37）
将（37）式代入到（36）式可得：
由（38）式可知，关于的线性函数是该HJB方程的解。令
（39）
其中和为常数，将（39）式及其对的一阶导数代入（38）式，整理并对比其左右两边同类项系数，可解得：
将（40）式代入（37）式，可得减排合作博弈情形下制造商和供应商关于减排努力程度的静态反馈均衡策略为：
（41）
将（40）式代入（39）式，可得合作情形下供应链系统总利润当值的最优值函数：
将（42）式代入（35）式，即可得供应链系统的利润最优值函数。
此时将（41）式代入状态方程式（2）中，可解得产品减排量的轨迹为：
（43）
其中。至此命题2得证。
另外，观察命题1和命题2提供的制造商和供应商的反馈均衡策略，均与时间无关，这也反映了该策略在企业减排实践中的操作性较强，作为连续时间范围内供应链系统，最优策略不需要随时间每时每刻都在变化，给企业的实践操作带来了可行性，一定程度上体现了该模型的管理实践意义，由命题2的推导还可以得到如下推论：
推论1：制造商和供应商减排合作博弈情形下，制造商和供应商的最优减排努力程度、以及供应链系统的利润均与双方产品的边际利润和、产品减排量对产品需求的影响系数以及各自减排努力程度对产品减排量的影响系数和呈正比关系；与各自的减排成本系数和及产品减排量的自然衰减率呈反比关系。
证明略（观察（41）式和（42）式，容易证得推论1）。
推论1说明，当消费者低碳意识较强（即产品减排量对产品需求的影响系数较大）时，供应链上下游企业愿意进行更多的减排投入，以增加供应链双方的利润；当供应链双方的减排努力容易转化为产品减排量的增加（即减排努力程度对产品减排量的影响系数或较大）时，供应链参与方也有加大减排投资的热情；而当减排投资成本系数（或）较大时，或者减排投资设备容易老化（产品减排量的自然衰减率较大）时，会一定程度阻碍企业减排投资的积极性，这种情况下，政府可以采用行政干预，考虑提供技术补贴激励企业进行减排投资，以减少其对环境的污染，这也将是我们未来要研究的问题之一。
3.3 两种情形的比较
本小节试图对Stackelberg主从博弈和合作博弈这两种情形下制造商与供应商的最优减排努力程度以及供应链系统的最优总利润进行比较，由此得到命题3。
命题3：减排合作博弈情形下，制造商和供应商的最优减排努力程度均高于Stackelberg博弈情形下的对应值，即，；供应链系统的总利润也高于Stackelberg博弈情形下的对应值，即
证明：对比命题1和命题2，由（26）式、（27）式和（41）式可得：
（45）
由（42）式、（29）式和（30）式可得：
至此命题3得证。
命题3说明，与非合作减排相比，制造商和供应商的合作减排能够促使双方投入更多的减排努力，并能实现供应链系统整体利润的提升，低碳环境下这意味着供应链上下游企业在进行纵向合作减排动态决策时，不仅考虑了供应链系统长期利润的最大化，还遵循了“经济—社会—环境”三重底线（Triple Bottom Line）的原则[18]，考虑了企业需承担的社会责任及长期生产对环境造成的影响。
文章来源：《低碳世界》 网址: http://www.dtsjzzs.cn/qikandaodu/2021/0504/1135.html