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低碳环境下供应链纵向减排合作的动态协调策略(9)
作者:网站采编关键词:
摘要：在无限时间长度之内，供应链系统中的两个成员（制造商和供应商）任意时刻均具有相同的贴现因子，记为；双方的目标都是在无限时区内寻求使其利润最
在无限时间长度之内，供应链系统中的两个成员（制造商和供应商）任意时刻均具有相同的贴现因子，记为；双方的目标都是在无限时区内寻求使其利润最大化的最优减排策略。制造商和供应商的目标函数分别为：
（4）
其中，制造商和供应商寻求最优减排策略的过程构成了双人微分博弈。制造商和供应商的最优减排行动由反馈策略决定。由于动态参数条件下求解解析解的困难，文中借鉴文献[16]的处理，假设模型中所有参数和都是与时间无关的常数，且博弈在无限时区的任何时段内，参与人面对的是相同的博弈，因此可将策略限制在静态策略，即制造商和供应商的减排策略分别表示为和，其均衡为静态反馈均衡（为简化书写，下文不再列出时间）。
命题1：制造商主导的Stackelberg博弈情形下，制造商和供应商关于减排努力程度的静态反馈Stackelberg均衡策略分别为：，产品减排量的最优轨迹为：；且双方各自的利润最优值函数为：，；
其中：；；；；；。
证明：为得到此博弈的反馈Stackelberg均衡策略，运用逆向归纳法，首先作为跟随方的供应商视制造商的减排努力程度和成本分担比例为给定参数，以此决策自身的最优减排努力程度，这便转化成了供应商的单方最优化控制问题。由（5）式知，记时刻之后供应商的总利润现值最优值函数为：
（6）
令时刻之后供应商的总利润当值最优值函数为：
则时刻之后供应商的总利润现值最优值函数为：
（8）
那么对于所有的都必须满足如下哈密尔顿－雅克比－贝尔曼(Hamilton－Jacobi－Bellman)方程[17]：
显然（9）式是关于的凹函数，由一阶条件可解得：
（10）
对于制造商而言，考虑到供应商将根据制造商给定的策略采取自身的最优策略，因此制造商会根据供应商的理性最优反馈策略来确定自己的最优策略，以满足自身利润最大化的目标。同样，记时刻之后制造商的总利润现值最优值函数为：
令时刻之后制造商的总利润当值最优值函数为：
（12）
则时刻制造商的总利润现值最优值函数为：
那么对于所有的必须满足如下哈密尔顿－雅克比－贝尔曼(Hamilton－Jacobi－Bellman)方程：
（14）
将（10）式代入（14）式，整理可得：
同理，由一阶条件可解得：
（16）
将（10）式和（16）式分别代入（9）式和（14）式，整理可得：
（18）
注意到微分方程（17）式和（18）式的阶数特点，推测关于的线性函数是HJB方程的解。令：
其中，、和、是常数。由（19）式分别求关于的一阶导数，可得：
（20）
将（19）式和（20）式分别代入（17）式和（18）式，得到：
（22）
对比（21）式和（22）式左右两边的同类项系数，可得关于、和、系数的方程组如（23）式所示：
求解方程组（23）式，可得：
（24）
将（24）式代入（20）式，可得：
将（25）式分别代入（16）式和（10）式，可得制造商和供应商的静态反馈Stackelberg均衡策略为：
（26）
将（24）式代入（19）式，可得供应商和制造商利润当值最优值函数为：
（29）
将（29）式和（30）式分别代入（8）式和（13）式，即可得制造商和供应商的利润最优值函数，；
此时将（26）式和（27）式代入状态方程式（2）中，可解得产品减排量的轨迹为：
（31）
其中。至此命题1得证。
3.2 制造商和供应商减排合作的博弈情形
在制造商和供应商进行减排合作博弈情形下，双方以供应链系统利润最优为首要原则共同地来确定和的值。此时供应链系统的目标函数为：
（32）
命题2：制造商和供应商减排合作博弈情形下，制造商和供应商关于减排努力程度的静态反馈均衡策略分别为：，产品减排量的最优轨迹为：
；且合作情形下供应链系统的利润最优值函数为：；
其中：；；。
证明：同3.1，记时刻之后供应链系统的总利润现值最优值函数为：
文章来源：《低碳世界》 网址: http://www.dtsjzzs.cn/qikandaodu/2021/0504/1135.html